BAB I

PENDAHULUAN

Tujuan Kompetensi Khusus

    Diharapkan mahasiswa mampu mengerti teori-teori tentang himpunna dan pemetaan serta mampu menyelesaikan permasalahan yang berkenan dengan himpunan dan pemetaan

1.0 Himpunan (Set) :

    Pengertian Himpunan : Himpunan atau set ialah kumpulan/kelompok elemen-elemen , yang memenuhi syarat keanggotaan, selanjutnya elemen-elemen tersebut dinamakan anggota dari himpunan

        Himpunan biasanya disajikan dengan notasi atau symbol , sedang keanggotaan disajikan dengan symbol
. Apanilka a menjadi anggota dari himpunan S, maka cara penyajiannya ditulis sebagai berikut a S dan apabila p bukan anggota S maka ditulis p S.

        Apabila a, b dan c adalah anggota dari suatu himpunan S, maka cara penyajiannya adalah S = atau S= atau S =

    Jadi urutan dari anggota-anggota tidak diperhatikan .

        Himpunan yang terdiri dari elemen-elemen yang memenuhi sifat-p ditulis dengan     notasi ,

    Himpunan yang banyak anggota-anggotanya adalah berhingga dinamakan himpunan berhingga (finite set).

Misalnya : H = , disni berarti H mempunyai empat anggota yaitu 1,2,3, dan 4.

    Himpunan yang banyak anggota-anggotanya adalah tak berhingga dinamakan himpunan tak berhingga (infinite set).

Misalnya : K = ,

    Himpunan kosonga (void set) ialah himpunan yang tidak mempunyai satu anggota pun dan biasanya disajikan dengan symbol .

Misalnya : ,=

Definisi : Dua himpunan S dan T adalah sama, apabila setiap anggota dari S menjadi anggota dari T dan sebaliknya

Definisi : Himpunan S disebut himpunan bagian dari T, apabuloa setiap anggota dari S menjadi anggota dari T, dan disajikan dengan symbol S T.

         Contoh : T =

             S =

Definisi : irisan (intersection) dari dua himpunan S dan T adalah himpunan yang anggota-anggotanya terdiri dari elemen-elemen yang sekaligus berada dalam S dan dalam T, disajikan dengan symbol S T, diucapkan irisan dari S dan T.

        Contoh     : S =

                 T = maka S T = …………gb. (a)

Definisi : Gabungan (union) dari dua himpunan S dan T adalah himpunan yang anggota-anggotanya terdiri dari semua elemen-elemen yang berada dalam S atau T atau yang berada dalam keduanya s dan T, disajikan dengan symbol S T , diucapkan gabungan dari S dan T .

        Contoh     : dari contoh kedua himpunan di atas, maka

                     S T = ………………gb. (b)

Perhatikan gambar-gambar ven diagram dari himpunan-himpunan berikut:

     S    T         S     T         S         T

 

 

        

        S T gb. (a)         S T gb. (b)         S T = gb. (c)

 

 

 

    
 

    S T gb. (b) gb. (d)         S -T gb. (f)

Keterangan gambar :

Gb. (c)     : dua himpunan S = (a,b,c) dan T = (d,e,f) adalah saling jadi S T = ialah himpunan kosong

Gb. (d) : dua himpunan S dan T saling asing, maka S T terdiri dari semua elemen-elemen S dan semua elemen-elemen T.

Definisi : 1. Komplemen (complement) dari S dengan simbol ialah himpunan elemen-elemen x dan x S, dengan adalah himpunan universal (universe) ……………….gb. (e).

2. S – T ialah himpunan elemen-elemen x S dan x T . Maka pada gb. (f) yang dimaksud dengan S – T adalah (a.b).

    Contoh :

    Komplemen, bila =

                 S =

            Maka

1. Pemetaan (mapping)
   

   Definisi : Pemetaan (mapping) dari S ke T ialah suatu aturan yang pada setiap anggota dari S menentukan dengan tunggal satu anggota dari T.
   

       Contoh : Lima dadu dilempar dan ternyata nomor-nomor yang timbul yaitu 1,3,3,2,4.
   

   Disajikan dengan pengertian himpunan, maka dapat ditulis sebagai berikut :
   

       S =
   

       T =
   

   Dan pemetaan dari S ke T disajikan sebagai gambar (g) berikut :
   

   
    

   
    

   
    

   
    

   
    

   S             T
   

               
   

        

 

 

 

 

                                gb. (h)

 

    gb. (g)

Jadi setiap anggota S mempunyai kawan (tunggal) di dalam T atau dengan lain kata dihabiskan, sedangkan tidak perlu habis.

    Daerah sumber (S) dinamakan domain, daerah kawan (T) dinamakan co-domain, sedangkan daerah hasil (1,2,3,4) dinamakan range.

    Pemetaan dari S ke T seperti kejadian di atas dianamakan pemetaan dari S into T. Apabila setiap elemen dari T mempunyai kawan dalam S atau dengan kata lain elemen-elemen T juga dihabiskan , maka pemetaan dinamakan pemetaan dari S onto T, pemetaan onto juga disebut pemetaan yang surjectif.

    Apabila setiap elemen di dalam T hanya mempunyai satu kawan didalam S atau dengan kata lain terdapat korespondensi satu-satu antara S dan T, maka pemetaan dari S ke T dinamakan pemetaan yang injectif.

    Jelas bahwa pemetaan injectif adalah surjectif dan pemetaan onto adalah into, tapi tidaklah berlaku sebaliknya.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

BAB II

PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT

Pengantar

    Masalah persamaan kuadrat adalah masalah klasik yang telah diajarkan turun-menurun lebih dari 2000 tahun. Dalam perjalanannya, penyelesaian persamaan kuadrat menuju proses kesempurnaan dan akhirnya dengan formula yang sederhana persamaan kuadrat selalu dapat dipecahkan. Fungsi kuadrat, jika digambarkan akan selalu membentuk parabola. Dengan berkembangnya pengetahuan, teori dasar persamaan kuadrat semakin berkembang dan sangat berguna dalam berbagai disiplin ilmu.

Tujuan Kompetensi Khusus

    Setelah mempelajari bab ini , diharapkan mahasiswa mampu menggunakan sifat dan aturan tentang akar persamaan kuadrat, diskriminan, sumbu simetri, dan titik puncak grafik fungsi kuadrat dalam pemecahan masalah, melakukan manipulasi aljabar dalm perhityungan terkait yang berkaitan dengan persamaan dan fungsi kuadrat, merancang model matematika yang berkaitan dengan persamaan dan fungsi kuadrat, menyelesaikan modelnya, dan menafsirkan hasil yang diperoleh.

2.0    Persamaan Kuadrat

2.0.0    Bentuk umum persamaan kuadrat

    Bentuk umum persamaan kuadrat adalah

            

    

    

    

    

    Berikut ini adalah beberapa contoh bentuk persamaan kuadrat.

1. 
    
2. 
    
3. 
    
4. 
    

2.0.1    Menyelesaikan persamaan kuadrat

    Menyelesaikan persamaan kuadrat berarti mencari nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat tersebut. Nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat disebut akar atau penyelesaian dari persamaan kuadrat.

Persamaan kuadrat dapat ditentukan akar-akarnya dengan cara:

1. Faktorisasi
   
2. Melengkapi bentuk kuadrat sempurna
   
3. Menggunakan rumus
   

   
    

4. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan faktorisasi
   

   Dalam menyelesaikan persamaan kuadrat dengan faktorisasi, kita menggunakan sifat perkalian berikut.
   

       
   

 

Penerapan adalah dengan mengubah (memfaktorkan) bentuk persamaan menjadi bentuk lalu menyelesaikan bentuk terakhir menggunakan sifat perkalian. Masalah kita sekarang adalah menemukan cara menentukan yang bersesuaian.

1. 
    

   Bentuk umum persamaan kuadat menjadi . Kita akan mengubah persamaan di atas menjadi bentuk
   

   
    

   
    

           
    

           
    

   Menurut kesamaan dua bentuk kuadrat, koefisien variable x yang sederhana di ruas kiri dan ruas kanan sama hanya jika = b, dan
   

 

 

1. 
    

       Pada kasus , persamaaan dapat disederhanakan menjadi , dengan dan . Selanjutnya diselesaikan seperti cara yang pertama. Seringkali bilangan d dan e muncul sebagai pecahan sehingga sulit menentukan yang bersesuaian. Oleh karena itu bentuk diubah menjadi bentuk dan menca yang bersesuaian.
   
   

        
 

        
 

            

        Menurut kesamaan dua bentuk kuadrat, haruslah

 

 

        

    Aturan umum ini berlaku juga jika

 

 

2,    Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapi bentuk kuadrat sempurna Bentuk seperti ,merupakan bentuk kuadrat sempurna karena dapat diperoleh akarnya dengan mudah. Menyelesaiakn persamaan kuadrat dengan melengkapkan bentuk sempurna artinya mengubah persamaan kuadrat menjadi bentuk , sifat utama yang digunakan dalam melengkapkan kuadrat adalah                             

                                

 

Untuk mendapatkan bentuk kuadrat sempurna, seringkali kita perlu menambahkan sebuah konstanta pada kedua ruas persamaan.

Berikut dijabarkan bagaimana mendapatkan akar kuadrat menggunakan kuadrat sempurna

 

                 tambahkan kedua ruas dengan

                                            

 

    

    

    

    

    

    Maka sekarang kita telah mendapatkan dua akar persamaan kuadrat, yaitu

 

    Kita lihat bahwa cara ini akan selalu berhasil mendapatkan akar kuadrat.

    Keberhasilan menggunakan cara melengkapkan bentuk kuadrat bergantung pada kemampuan kita menambahkan kedua ruas dengan konstanta yang tepat ke dalam bentuk

. Dari pengalaman kita, konstanta yang harus ditambahkan adalah .

Meneyelesaiakn persamaan kuadrat dengna mnegugbnakan rumus

Kita ketahui bahwapenyelesaian persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat selalu berhasil. Kita dapat memengkas langkah-langkah melengkapkan kuadrat dan langsung mendapatkan nilai

 

 

Rumus dia tas sering disebut rumus abc. Algoritma rumus itu dengan melengkapkan kuadrat dipakai komputer atau kalkulator dalam program menemukan akarkuadrat disebut diskriminan persamaan kuadrat ditandai oleh D . ada baiknya jika nilai D dihitung terlebih dahulu lalu disubstitusikan pada rumus abc.

2.0.2    Diskriminan persamaan kuadrat

    Rumus penyelesaian persamaan kuadrat adalah

 

    Misalkan D =

    D disebut diskriminan persamaan kuadrat . ada baiknya dalam menyelesaiakn persamaan kuadrat, nilai diskriminan (D) ditentukan terlebih dahulu. Jika Dmaka akar-akar persamaan kuadrat bilangan real. Apa yang terjadi jika D 0 maka akar-akar persamaan kuadrat bukan bilangan real . lalu bilangan apa? jawabnya adalah bilangan yang lebih laus dari bilangan real, yaitu bilangan kompleks.

 

 

 

 

 

 

 

    Diskriminan dapat digunakan untuk membedakan berabgai jenis akar persamaan kuadrat. Oleh karena itu, tanpa menyelesaikan kita dapat menentukan jenis akar-akar persamaan tersebut dengan menghilangkan nilai D.

    Jenis akar-akar persamaan kuadrat (real atau kompleks) tentunya akan bergantung pada nilai D.

• Jika D maka kita tahu bahwa bilangan real. Akibatnya adalah bilangan real.
  

  Khususnya jika D=0, maka . Kita memiliki dua akar real yang sama (akar kembar)
  

• Jika D, , maka persamaan kuadrat memiliki dua akar real yang berlainan
  
• Jika D adalah bilangan imajiner, maka kita mempunyai dua akar kompleks yaitu:
  
• Dari uraian di atas, nilai diskriminan dapat menunujukkan jenis akar persamaan kuadrat , sebgai berikut
  
• Jika D>0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang berlainan . bila
  D merupakan kuadrat sempurna maka persamaan kuadrat mempunyi dua akar yang rasional dan bila tidak maka kedua akarnya irrasional (bentuk akar)
  
• Jika D=0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akr real yang sama
  
• Jika D<0, maka persamaan kuadrat mempunyai akar-akar yang tidak real (atau bilangan komlpeks).
  

    Rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat

    Akar-akar persamaan kuadrat adalah

• atau
  
• atau
  
  • =
    
  • = =
    

        Dan

     =

             =

             =

 

 

 

Hubungan antar koefisien persamaan kuadarat dengan sifat akarnya.

• akar-akarnya kembar jika dan hanya jika
  
• akar-akarnya berlawanan jika dan hanya jika
  
• akar-akarnya berkebalikan jika dan hanya jika
  

Menyusun persamaan kuadrat yang diketahui akar-akarnya

Setidaknya ada dua cara yang dapat digunakan untuk maenyusun persamaan kuadrat yang diketahui akar-akarnya, yaitu:

1. menggunakan perkalian faktor
   
2. menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar
   

Menggunakan perkalian faktor

Apabila suatu persamaan kuadrat dapat dinyatakan dengan .

Menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akarnya

perhatikan persamaan kuadrat berikut

 

                

                

dengan masing-masing akar persamaan kuadrat. Sebaliknya, jika diketahui bahwa merupakan akar-akar suatu persamaan kuadrat maka persmaan kuadrat itu adalah :

                

 

 

 

 

 

2.1    Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat adalah fungsi dengan bentuk umum

2.1.0    Menggambar grafik fungsi kuadrat

Menggambar grafik fungsi kuadrat seringkali fungsi ditulis dalam bentuk persamaan kurva ,a merupakan variable bebas, nilainya boleh berubah –ubah sepanjang garis merupakan variebel tak bebas karena nilaninya bergantung pada nilai x.

Pandanglah fungsi kuadrat

=1

 

            

             = 4+10+7= 2

f(2) merupakan nilai fungsi f untuk x=2 f(1) adalah nilai fungsi f untuk x=1, dan seterusnya.

Fungsi kuadrat memiliki bentuk grafik yang istimewa, yaitu parabola. Cara paling sederhana mensketa grafik fungsi kuadrat adalah dengan menggunakan table nilai. Kita harus menendaia koordinay yang diperoleh dari table pada bidang cartesisus, lalu menghubungkan titik-titik tersebut sehingga terbentuk sebuah kurava mulus.

Contoh: gambarkanlah grafik fungsi dari persamaan kurva

Titik (0,c) titik balik , dan sumbu simetri selalu bias kita dapatkan. Sementar itu akar real persamaan kuadrat adalah apakah kurva parabola terbuka ke atas ataukah terbuka ke bawah. Demuanya bergantumh nilai yaitu koefisien . Jika , maka parabola terbuka ke atas dan mempunyai titik balik minimum (misalnya kurva , dan jika , maka parabola terbuka ke bawah dan mempunyai titik balik maksimum (misalnya kurva ).

Dengan pengetahuan yang kita miliki tentang hubungan diskriminan dengan akar-akar kuadrat, jelas jika dinyatakan:

• Jika maka parabola memotong sumbu X di dua titik
  
• Jika maka parabola memotong sumbu X di satu titik
  
• Jika maka parabola tidak memotong sumbu X.
  

Dengan memperhatikan nilai dari suatu fungsi kuadrat kita peroleh enam kemungkinan kedudukan parabola terhadap sumbu X sperti tersaji pada gambar 2.2.

 

 

 

 

                X                X                X

 

                     

 

 

 

 

 

                                X                X

 

                X                                

                                                

        d                e                 f

                    gambar 2.2

Pada gambar 2.2.c, kurva selalu berada di atas sumbu X, dengan parkataan lain nilai fungsi kuadrat selalu positif ) kondisi seperti ini disebut fungsi kuadrat definit positif. Sedangkan pada gambar 2.2.f, kurva selalu berada di bawah sumbu X, dengan perkataan lain nilai fungsi, kuadrat selalu negative . Kondisi seprti fungsi kuadrat definit negatif.

Contoh : Sketsalah grafik fungsi kuadrat dengan persamaan kurva

Jawab:

kurva terbuka ke atas, memiliki titik balik minimum

, kurva memotong sumbu X di dua titik

Perpotongan dengan sumbu X, y=0

                

 

 

-1 0 2 5        Titik (-1,0) dan (5,0) dilalui kurva

• Perpotongan dengan sumbu Y, x=0
  

 

                 Titik (0,-5) dilalui kurva

• Persamaan sumbu simetri :
  

  Nilai balik minimum = , jadi koordinat titik balik minimum (2,9)
  

• Berdasarkan data-data di atas, sketsa grafik fungsi kuadrat dengan persamaan kurva tersaji pada gambar di samping.
  

 

            
 

 

 

-9

2.1.1 Menentukan persamaan kurva dari sebuah fungsi kuadrat dengan cirri-ciri tertentu

1. Menentukan persamaan kurva dari sebuah fungsi kuadrat jika diketahui titik baliknya

    Dari suatu grafik fungsi kuadrat dengan persmaan kurva dapat diperoleh titik balik ).

 

 

 

1. Menentukan persamaan kurva dari sebuah fungsi kuadrat jika diketahui titik potongnya dnegan sumbu X
   

   Dari fungsi kuadrat kita dapat memperoleh titik potong kurva dengan sumbu X dengan menyelesaikan persamaan kurva untuk y = 0.
   

   
    

   
    

   
    

   
    

   
    

2. Menentukan persamaan kurva dari sebuah fungsi kuadrat jika diketahui tiga titik yang dialaui parabola.
   

   Kita dapat mengetahui fungsi kuadrat suatu parabola jika diketahgui tiga titik yang dialluinya dengan menggunakan metode eliminiasi dan subtitusi. Persmaan parabola pasti dapat ditentukia dengan tiga tiitk, mengapa? Karena kita dalam memerlukan sedikitnya tiga persmaaan untuk memperoleh tiga variabel dalam persamaan kurva
   

2.1.2     Mengaplikasikan fungsi kuadrat dalam pemecahan masalah

    Masalah 1

    Seorang pengusaha meminta sebuah perusahaan konstruksi untuk membangtun gedung yang akan ia jadikan pusat perbelanjaan termodern. Gedung itu harus berasalas persegi panjang denga luas 20.000 m². Secara spesifik pengusaha tersebut emminta agar panjang daripada lebarnya. Langkah pertama yang harus dialkukan perusahaan konstruksi adalah mencari lahannya. Beraoa ukuran lahan minimal sehingga keinginan pengusaha tersebut dapat terwujud?

    Jawab :

• Pemodelan matematika
  

      Diketahui luas alas gedung (L)= 20.000 m²/
  

              Panjang gedung = p
  

               Lebar gedung =
  

      Akan dietentuka nilai-nilai
  

• Menyelesaikan masalah matematika
  

  
   

          
  

  
   

                       
  

        

(dibulatkan)         83600

 

• Kembalikan ke bahasa biasa
  

  Untuk memenuhi keinginan pengusaha maka kontraktor itu harus mencari lahan yang panjangnya minimal 175 m dan lebarnya minimal 115m
  

  
   

  Masalah 2
  

  Siska ditentang kawannya untuk menemukan dua bilangan yang jumlahnya 9 dan hasilnya kailinya-90.
  

  Jawab:
  

  
   

  
   

              
  

          
  

       (x-15)(x+6) = 0
  

              
  

      Jika
  

      Jika
  

• Kembalikan ke bahasa biasa
  

      Dua bilangan yang jumlahnya 9 dan hasil kalinya -90 adalah 15 dan -6
  

  
   

 

 

 

            
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

BAB III

SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN KUADRAT

Pengantar:

Dalam kehidupan sehari-hari kita seringkali berhadapan dengan persolana yang jika kit a telusuri ternyata merupaka n maslaah matematika . dengan mengubahnya ke dalam bahasa matematik amaka persoalan tersebut menjadi lebih mudah untuk diselesaikan. Beberapa dari masalah yang muncul tersebut mungkin sekali berhubungan dengan masalah persamaan linear denagn bebebrapa variabel. Dalam bab ini mempelajari tentang system persamaan liniear yang meliputi system persamaan linear dua variabel (SPLDV) dan system persamaan linear tiga variabel (SPLTV), sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel (SPLKDV), system persamaan kuadrat (SPK), system persamaan liniear dna bentuk aljabar berderajat dua dengan dua varibel (pengayaan)

Tujuan Kompetensi Khusus:

3.0    Sistem Persamaan Linear

Persamaan liniear adalah persamaan yang memunculkan variabel-variabel bentuk tunggal berpangkat satu. Variabel atau peubah adalah nilai yang tidak diketahui dari persamaan. Bentuk adalah dua contoh bentuk persamaan linear karena memunculkan variabel-variabel bentuk tungal satu berpangkat satu. juga bukan persamaan linear karena xy bukan variaebl bentuk tunggal walaupun keduanya berpangkat satu.

Pada persamaan linear berperan sebagai variaebl yang untuk sementara tidak diketahui nilainya. Jadi untuk sementara persaman linear ini belum diketahui kebenarannya. Jika kita ganti nilai x dengan 3, maka persamaan menjadi benar dan dikatakan 3 adalah penyelesaian, atau disebut juga solusi persamaan liniear

Persamaan linear hanya memunculkan satu variabel, yaitu x, persamaan seperti itu dinamakan persamaan liniear satu variabel (PLSV). PLSV yang doamainnya bilangan real selelu mempunyai penyelesaian tunggal

     3.0.0 Sistem Persamaan Linear Dua Variable (SPLDV)

    Sistem persamaan linear dua variabel dengan variabel x dan y secar umum dapat dinyatakan sebagai berikut.

     dengan .

Menentukan penyelesaian SPLDV dapat dilakukan dengan beberapa cara diantaranya adalah dengan menggunakan:      1. metode grafik

                         2. metode substitusi

                         3. metode eliminasi

                         4. metode eliminasi-substitusi (gabungan)

Metode grafik

 

Perhatikan sistem persamaan linear dua variabel berikut:

 

 

Penyelesaian persamaan linear (1) adalah semua titik-titik pada garis

Sementara penyelesaian persamaan linear (@) adalah semua titik-titik pada garis (gambar 3.2).

Titik-titik mana yang menjadi penyelesaian system persaa\maan linear? Tentu saja titik-titik yang termasuk pada penyelesaian persamaan linear (1) dan (2), dalam hal ini titik P, yaitu titik potong grafik kedua garis dari persamaan linear (1) dan (2).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Metode substitusi

 

Sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV)

````                        

Dapat ditulis dalam bentuk lain, misalnya:

````                        

• 
   
• ………(2)
  
• 
   

 

• 3 (
  
• 
   
• 
   
• 
   
• 
   

    

    

        

            

    Metode eliminasi

    Eliminasi artinya proses mengeliminasi (menghilangkan) salah satu variabel untuk menentukan nilai variabel lainnya dan sebaliknya

    Misalkan kita ingin menentukan HP dari SPL berikut.    

            

            

    Karena (1) dan (2) merupakan persamaan, maka kita bias mengoperasikan masing-masing ruas persmaan dengan operasi yang sama. Jika (1) dan (2) kita jumlahkan maka diperoleh

.         x1

         x2

                         -3y = -3

                         y = 1

penyelesaian system persamaan tersebut adalah

 

 

 

 

Metode eliminasi –substitusi (gabungan)

Dari pengalaman kita menentukan penyelesaian SPL, dengan metode substitusi dan eliminasi, dapat disimpulkan bahwa metode substitusi bekerja lebih lambat dalam menemukan variabel pertama, tapi sangat cepat dalam mendapatkan variabel kedua setelah variabel peratama diketahui. Sementara itu metode eliminasi justru cepat untuk menmukan vasriabel pertama, tetapi justru lambat dalam mennemukan variabel kedua karena proses eliminasi diulang lagi dari awal

Anda mungkin sudah menduga dan mungkin mencobanya. Benar, cara terbaik menyelesaiak SPL adalah dengan menggabungkan metode eliminasi dan subtitusi. Metode eliminasi diguanakan untuk mendapatkan variabel pertama dan hasilnya disubtstitusikan ke persamaan untuk mendapatkan variabel kedua.

    3.0.1 Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

    SPLTV dengan variabel x,y,z secara umum dinyatakan sebagai berikut.

    

 

    
 

Dengan a,b,c,d, merupakan konstanta real menyelesaiakn SPLTV berarti menemukan nilai variabel x, y, dan z yang memenuhi ketiga persamaan linear tersebut. Penyelesaian dari SPLTV adalah HP =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Soal:

1. Satu unit pekerjaan dapat diselesaikan oleh A,B, dan C bersama –sama dalam waktu 4 jam. Jika diselesaiakan oleh A dan C bersma–sama dapat diselesaiakn dalam waktu 8 jam. sedangkan jika diselesaikan oleh B dan C bersama –sama dapat selesai dalam waktu 8 jam. Buatlah system persamaan untuk maslah ini.

2. Diketahui tiga bilangan berturut-turut . Rata-rata dari ketiga bilangan itu adalah12. Bilangan kedua sama dengan jumlah bilangan yang lain dikurangi 12. Bilangan ketiga sama dengan jumlah bilngan yang lain.Tentukan bilangan-bilangan itu.

3.1 Sistem Persamaan Linear Dan Kuadrat Dua Variabel (SPLKDV)

    Sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel dengan variabel x dan y secara umum berbentuk

    

    

    Dengan s,b,p,q dan r R.

    Dengan pengantar dia atas sebenarnya kita telah menentukan tiga kemungkinan bagi SPLKDV, yaitu:

1. memiliki dua penyelesaian, dan , jika garis dan kurva berpotongan di dua tiik.

2. Memiliki peneyelesaian tunggal , jika garis hanya menyinggung kurva

3. Tak memiliki penyelesaian jika garis dan kurva tidak saling berpotongan maupun bersinggungan.

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian SPLDKDV berikut dengan menggunakan grafik, lalu verikasi hasilnya menggunakan metode subtitusi-eliminasi

 

    

Jawab :

Tampak garis dan kurva berpotongan di dua titik (-1,1) dan (2,4).

Kita mempunyai dua penyelesaian SPLKDV yaitu (-1,1) dan (2,4).

    
 

Berikut verivikasi kita menggunakan metode eliminasi-subtitusi,

………(1)

     ………(2)

                         -

                

Persamaan (3) adalah persamaan kuadrat biasa dengan akar-akar -1 dan 2

    

    

Penyelesaian SPLKDVdi atas adalah (-1,1) dan (2,4).

HP = {(-1,1) dan (2,4)}

 

    6

        5

        4

        3

        2

        1

     -3 -2 -1    0     1 2 3

 

 

 

Kesimpulan :

 

 

 

 

..

 

 

 

Soal:

Tentukan himpunan penyelesaian dari system persamaan berikut dan gambarkan perpotongan kedua grafik pada satu bidang cartesius.

1. 2.

 

 

3,2 Sistem Persamaan Kuadrat (SPK)

    SPK dengan variabel x dan y secara umum dinyatakan sebagai berikut

 

……………(2)

Dengan

Penyelesaian SPK dapat diperoleh dengan metode grafik atauoun metode eliminasi-substitusi. Ada empat kemungkjinan penyelesaian bagi SPK.

1. Penyelesaian tunggal, yaitu jika (1) dan (2) saling menyinggung

2. Memiliki dau penyelesaian, yaitu jika (1) dan (2) saling berpotongan di dua titik.

3. Tak ada penyelesaian, jika (1) dan(2) saling lepas

4. Tak hingga banykanya penyelesaian , jika (1) dan (2)

Menentukan penyelesaian

……………(2)

Artinya, mennetukan nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan sekaligus. Dengan metode eliminasi-subsitusi kita peroleh.

 

1. jika D=0 kita peroleh penyelesaian tunggal. Mensubstitusikan nilai x=x₁ ke persmaan (1) atau (2) akan menghasilkan adalah himpunan penyelesaian SPK

2. jika D>0, kita peroleh dua penyelesaian

3. jika D<0, maka ada peneyelesaian yang memenuhi SPK tersebut

4. jika maka diperoleh tak hingga banyak penyelesaian

Contoh:

Tentukan himpunna penyelesaian dari system persamaan berikut dan gambarkan perpotongan kedua grafik pada satu bidang cartesius.

……(!)

…….(2)

    Jawab:

    
 

 

     atau

atau

X=0 (1)        

 

                 0

X=4 (2)     

 

                 8

Jadi, himpunan penyelesaian system persamaan tersebut adalah {(0,0), (4,8)}

Grafik dalam bidang cartesius adalah sebagai berikut.

 

 

 

 

 

 

    

        

 

 

    
 

                     

    

Soal:

Tentukan himpunan penyelesaian dari system persamaan dari system persamaan berikut dan gambarkan perpotongan kedua garfik pada satu bidang Cartesius.

1.     2.

         

3.3 Sistem Persamaan Linear Dan Bentuk Aljabar Berderajat Dua Dengan dua Variabel (Pengayaan)

    Sistem persamaan linear dan bentuk aljabar berderajat dua dengan dua variabel memiliki bentuk umum seperti berikut.

            

            

    Dengan a,b,c,p,q,r,s,t,dan u R

    Mennetukan penyelesaian system persamaan di atas berarti mencari x da y yang memenuhi persamaan sekaligus

    Seperti biasa kita kaan menggunakan metode eliminasi-subtstitusi dan metode grafik untuk mendapatkan penyelesaian masalah di atas.

    Contoh:

    Tentukan himpunan penyelesaian dari system persamaan

    

    

    Kita dapat menuliskan system persamaan di atas sebagai berikut.

    

    

    Substitusikan (2) ke (3)

    

    

    

    

    

    

    

     (1)        

                    

     (1)

                

    Jadi, himpunan penyelesaian system persamaan tersebut adalah HP = {(-3,-4),(4,3)}

    Secara geometri kita bias buktikan bahwa jawaban ini benar. adalah grafik lingakaran berpusat di (0,0) dengan jai-jari 5 satuan (kita akan mempelajarinya kemudian). adalah persamaan garis yang memotong titik (1,0) dan (0,-1).

 

    
 

 

 

 

 

    Soal :

    Tentukan himpunan penyelesaian dari system persamaan berikut:

    1.     2.          3.

    
 

Latihan :

1. 2. 3. 4.

 

5. 6. 7. =1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

BAB IV

PERTIDAKSAMAAN

Pengantar:

Dalam masalah sehari-hari seringkali kita dihadapkan dengan masalah yang berhubungan dengan batas. Perhatian beberapa situasi berikut.Materi pertidaksamaan pada bab ini dibahas dalam bentuk angka-angka dan bilangan, cara pembahasan khas matematika. Materi ini hanya bias bermanfaat apabila kita mampu mengubha masalah pertidaksamaan matematika. Sekali kita mendapatkan masalah pertidaksamaan matematika maka penyelesaiannya mudah. Tentu kita akan belajar cara mengubah masalah nyata menjadi masalah matematika.Dalam bab ini, materi pertidaksamaan dibahas dari yang paling sederhana sampai ke bentuk yang lebih rumit. Dapatkan idenya, sehingga apabila diperlukan kamu tahu cara menggunakannya.

Tujuan Kompetensi Khusus:

• Mahasiswa mampu menggunakan sifat dan aturan pertidakasmaan satu variabel dalam pemecahan masalah
  
• Merancang model matematika yang berkaitan dengan pertidaksamaan satu variabel, menyelesaiakn modelnya, dan menafsirkan hasil yang diperoleh
  

 

4.0 Pengertian Pertidaksamaan

    
 

Pertidakasamaan adalah suatu bentuk yang mengandung tanda ketidaksamaan.

Ada lima tanda ketidaksamaan, yaitu:

"<" dibaca "kurang dari"

">" dibaca "lebih dari"

"" dibaca "kurnag dari atau sama dengan", merupakan gabunga dari "<" dan "=".

"" dibaca "tidak sama dengan".

Pertidaksamaan yang tidak mengandung variabel disebut ketidaksamaan dan dapat segera dietntukan nilai benar atau salahnya. Contohnya ketidaksamaan masing-masing bernilai benar, sementara itu

Masing-masing bernilai salah.

Pertidaksamaan seperti belum daptat dietentukan benar atau salahnya, hingga variabelpada pertidaksamaan diganti oleh nilai tertentu yang menjadikan pertidaksamaan bernilai benar. Nilai yang menjadikan pertidaksamaan bernilai benar penyelesaian pertidaksamaan.

Himpunan semua pnyelesaian pertidaksamaan disebut himpunan penyelesaian (Hp). HP harus merupakan himpunan bagian dari semester (S).

Contoh:

Jika , tentukan dan gambarkan dalam garis bilangan himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut.

a.         b.     c.      d.

 

jawab:

Himpunan semesta

 

a.

 

b.

 

c.

 

d.         

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    Dalam beberapa subbab berikut kita akan membahas teknik menyelesaikan beberapa bentuk pertidaksamaan sederhana. Ingat bahwa sifat-sifat di atas akan membantu kita menyelesaikan pertidaksamaan, tapi pada tingkat selanjutnya kita akan belajar menggunakan sifat-sifat di atas lebih efektif lagi.

Soal :

1. Apa yang dimaksud dengan pertidaksamaan?

2. Apa yang dimaksud dengan variabel suatu pertidaksamaan?

3. Apa yang dimaksud dengan himpunna penyelesaian suatu pertidaksamaan ?

4. Jika , tentukanlah dan gambarkan dalam garis bilangan himpunan penyelesaian tiap pertidaksamaan berikut.

    

 

4.1 Pertidaksamaan Linear Dan Penyelesaiannya

Pertidaksamaan linear dalam variabel x adalah pertidaksamaan yang berbentuk ataui dapat diubah menjadi bentuk

Misal: 1.

Bentuk terakhir memenuhi bnetuk pertidaksamaan linear dengan

2. bukan pertidaksamaan linear, karena bukan bentuk pertidaksamaan linear ()    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Latihan 1:

Selesaikan pertidaksamaan berikut ini

1.

2.

3.

4.

5.

4.2 Pertidaksamaan Kuadrat Dan Menggunakan Metode Titik Uji

1. Pertidaksamaan Kuadrat Dan Penyelesaiannya.

Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat adalah dan

Contoh: - merupakan pertidaksamaan kuadrat, dengan

- bukan pertidaksamaan kuadrat karena pertidaksamaan di atas ekuivalen dengan yang merupakan pertidaksamaan linear.

2. Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat dengan Menggunakan Metode Titik Uji

    Langkah-langkah:

    Ambil satu titik selain akara lalu ujilah tandanya dengan mensubstitusikan nilai tersebut ke ruas kiri pertidksamaan. Misalkan hasilnya positif dengan demikian segmen yang memuat titik tersebut bertanda positif.

Contoh:

Tentukan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat

• 
   
• 
   
• Titik kritis
  
• Pilih titik uji x=0
  
• 
   
• Segmen yang memuat nol bertanda positif
  
• HP
  

4.3 Pertidaksamaan Bentuk Akar

Ada dua bentuk umum pertidaksamaan bentuk akar dalam variabel x .

1.

 

    

 

 

2.

 

 

 

 

4.4 Pertidaksamaan Bentuk Nilai Mutlak

Sifat-sifat nilai mutlak

Untuk

S-1 a.

b.

S-2

S-3

S-4 jika <

S-5 Untuk

1. 
   
2. ,y
   
3. 
   
4. 
   

    
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

BAB V

FUNGSI    

5.0 Pengertian Fungsi

Pengertian fungsi di sini di kaitkan dengan pengertian pemetaan yang dalam analisis matematika dikenal dengan nama fungsi, dengan demikian fungsi merupakan kejadian khusus dari suatu relasi.

Definisi : Suatu fungsi f dari X ke Y ialah suatu aturan yang pada setiap anggota dari X menentukan dengan tunggal satu anggota dari Y.

    Satu fungsi f dari X ke Y disajikan dengan f : X Y, artinya apabila menentukan kawan (tunggal) di dalam Y dan disajikan dengan symbol f(x).

    Definisi suatu fungsi f dari X ke Y diformulasikan kembali sebagai berikuty:

Untuk setiap terdapat dengan tunggal , sedemikian hingga .

Secara simbolik disajikan sebagai berikut:

Untuk Y

Dari definisi di atas, domain dari f ialah X, sedangkan himpunan elemen-elemen y yang berkawan dengan x sedemikian hingga f (x) = y adalah range dari f yang terletak dalam Y, seperti gb(h) di muka.

Pada pengertian fungsi di atas f : X Y, yang memperlihatkan x dibawa ke F (x), maka y = f(x) didalam Y dinamakan peta (mage) dari x atau dinamakan harga fungsi f di x, dengan kata laian kata fungsi f didefinisikan pada X dengan anggota-anggota Y diambil sebagai harga-harga.

Sebaliknya himpunan x di dalam X yang petanya adalah dinamakan peta invers (inverse image) dari y dan disajikan dengan symbol (y).

Hasil Ganda Kartesis dan Pasangan-Pasangan Berurutan (ordered pairs anda Cartesian product)

Definisi : Yang dimaksud dengan hasil-hail ganda kartesis X x Y dari dua himpunna X dan Y adalah himpunan semua pasangan berurutan atau ordered pairs (x,y) dengan dan ,

Contoh :

 

dan

 

 

    Terlihat bahwa dari X x Y terdapat 3 x 4 = 12 pasangan berurutan dan juga Y x X terdapat 4 x 3 = 12 pasangan berurutan, meskipun jelas X x Y Y x X kecuali bila X = Y

Komposisi dari Fungsi-fungsi

Definisi : Yang dimaksud dengan komposisi dua f : X C dan g : C Y adalah fungsi gf yang ditentukan dengan aturan di bawah ini :

 

 

     X f (x) g (f(x))

Definisi : Yang dimaksud dengan grafik suatu fungsi f dari X ke Y ialah himpunan pasangan-pasangan berurutan (x, f(x)) dengan x berjalan pada X (x X) dan f(x) berjalan pada Y (f(x) Y).

Apabila X dan Y masing-masing adalah himpunan bilangan riil, kemudian X dan Y masing-masing disajikan pada sumbu x dan sumbu y dengan pengertian bahwa himpunan bilangan riil disjaikan dengan titik-titik menurut sumbuny masing-masing, maka pasangan-pasnagan berurutan dari hasil ganda karetsis X x Y disajikan dengan titk-titik pada bidnag datar.    

5.1 Variabel Bebas Dan Tak Bebas (Independent and Dependent Variables)

Definisi : Variabel pertama x dalam pasangan berurutan (x,y) dinamakan variabel bebas (independent variable) atau argument dari f, sedangkan variabel kedua y dinamakan variabel tak bebas (dependent variable).

Catatan:

1. Dalam pemakaian selanjutnya, pada umumnya domain dari variabel disajikan dengan interval (ynag menyajikan himpunna atau himpunan bagian dari himpunan bilangan riil).
   

   Interval ada empat macam:
   

   1. Interval terbuka (open interval) terdiri dari semua bilangan riil anatar dua bilangan tertentu a dan b dituliskan dengan tanda (a,b) = { x | a < x< b }
      
   2. Interval sebelah terrtutup sebelah yang lain terbuka (half-open interval)
      

      b.1 interval sebelah kiri tertutup dan sebelah kanan terbuka [a,b) = { x | a x b} ialah himpuanan semua bilangan riil anatara a dan b dengan a termsuk di dalamnya.
      

      b.2 interval sebelah kiri terbuka dan sebelah kanan tertutup
      

      (a,b] = { x | a xb}ialah himpunan semua bilangan riil anatara a dan b dengan b termasuk di dalamnya.
      

   c.    interval tertutup (closed interval)
   

   interval [a,b] = { x | a x b} ialah himpunan semua bilangan riil anatara a dan b dengan a dan juga b termasuk di dalamnya.
   

2. Fungsi dengan dua (atau lebih) variabel bebas pembahasnnya mempunyai langkah yang sama (analog), hanya saja system penyajiannya yang berbeda. Misalnya untuk fungsi dnegan dua variabel bebas, maka himunan dari semua (tiga berurutan) atau ditulis dengan notasi (x,y,z) di mana x X, y Y dan z Z merupakan himpunna titik-titik dalam runag sedangkan Z sebagai sumbu tegak . Himpunan pasangan berurutam dari X x Y sebagai domain, sednagkan himpunan z Z yang berasala dari anggota-anggota X x Y merupakan range dari suatu fungsi F.
   

   F : (x,y) F (x,y) = z
   

   Fungsi F dari X x Y ialah suatu aturan di mana untuk setiap (x,y) X x Y terdapat dengan tunggal z Z sedemikian sehingga F (x,y) = z.
   

   Variabel x dan y dalam tiga berurutan (x,y,x) dinamakan variabel bebas, sedangkan z dinamakan variabel tak bebas.
   

5.2 Limit Fungsi

Definisi : f(x)dikatakan mempunyai limit L untuk x , bila untuk setiap bilangan positif h yang diberikan , dapat ditunjuk bilngan positif sedemikian hingga untuk semua harga x yang memenuhi 0 | x – x₀ | berlaku | f(x) – L | h.

Pernyataan 0 | x – x₀ | berarti untuk smeua x yang memenuhi x₀ , jadi

F(x) mempunyai limit L untuk x disajikan dengan :

 

 

 

Catatan:

1. Apabila x didekati dari kiri atau ditulis x , maka limit dinamakan limit kiri dan bila harga limit fungsi misalnya = a, maka disajikan sebagai berikut : atau f
   
2. Apabila x didekati dari kanan (x ). Maka limit dinamakan limit kanan dan bila harga limit fungsi misalnya = b, maka disajikan sebagai berikut :
   

   atau f
   

5.3 Kontinuitas (Continuity)    

Definisi : (i) fungsi f(x) adalah kontiyu (continous) di titik x = x₀ , jika limit kanan dna limit kiri dari f(X) adalah sama untuk x x₀ dan sama dengan f(x₀). Jadi

(ii) fungsi f(x) adalah kontiyu (continous) di titik x = x₀ , jika untuk setiap h > 0 dapat dicari bilangan positif b sedemikian hingga | f(x) – f(x₀) | < h untuk |x = x₀| < b atau x₀ –

Dalam pengertian geometri :

Bila diambil h > 0 maka dapat ditentukan interval (domain) lebar 2 (tergantung h) dengan titik tengah x₀ sedemikian hingga setiap harga x dalam interval ( x₀ – , x₀ + ) menentukan harga-harga f(x) antara f(x₀) + h dan f(x₀) – h

 

 

 

 

 

 

 

0 x₀ - x₀ x₀ +

 

Catatan :

(i).     jika f(x) kontinyu di suatu titik, maka

     a). harga limit f(x) ada di titik tersebut.

     b). f(x) harus mempunyai harga tertentu di titik tersebut.

(ii)     Bila f(x) tirak kontinyu di suatu titik, maka dikatakan f(x) adalah diskontinyu (discontinue) di titik tersebut.

(iii).     F(x) disebut diskontinyu yang tak terbatas (infinite) di x = x₀, bila harga lim f(x) = untuk x atau dan bila (sifta) diskontinyu untuk x=x₀ adalah terbatas, maka disebut diskontinyu terbatas.

(iv)     jika ada dan , maka disebut loncatan (jump) dari f(x) di tiitk x = x₀.

Kontinyu Uniform/seragam (uniform continuity)

Definisi : f(x) disebut kontinyu uniform dalam suatu interval J, bila untuk setiap h > 0 terdapat bilangan positif sehingga untuk setiap dua titik x₁ dan x₂ dalam interval tersebut dan | x₁-x₂| < berlaku |f(x₁)-(f(x₂)| < h

Catatan : suatu fungsi yang kontinyu dalam open interval (a,b) tak perlu kontinyu uniform.

Contoh : f(x) = adalah kontinyu dalam open interval (0,1) tapi tidak kontinyu uniform.

Teori : Pembuktian dapat dengan mengambil kontraposisinya.

Veberapa teori atau sifat diberikan secara intuisi sebagai berikut :

(i). Bila f(x) kontinyu dalam interval tertutup [a,b], maka dalam interval tersebut terdapat paling sedkit satu harga x₀ sehingga f(x₀) merupakan harga terbesar (maksimum) dan misalkan f(x₀)=m, juga palinbg sedikit ada satu harga x₁ sehingga f(x₁) = m. jadi untuk semua x dalam [a,b] berlaku m m.

(ii) Bila f(x) kontinyu dalam interval tertutup [a,b], dan N suatu bilangan yang besarnya antara f(a) dan f(b), maka paling sedikit terdapat satu harga x = c dalam interval tersebut, sedemikian sehingga f(c) = N.

(iii) Sebagai akibat dari (ii) di atas diperoleh bahwa bila f(a) dan f(b) berlainan tanda, maka paling sedikit ada satu harga x dalam interval tersebut , sedemikian sehingga f(x) = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

BAB VI    

TURUNAN (DERIVATIVE)

6.0 Turunan Fungsi Aljabar

Definisi : bila y = f(x) adalah suatu variabel x , dan bila :

= ada dan terbatas , maka limit tersebut dinamakan turunan atua derivative dari y terhadap x dan f(x) dikatakan fungsi dari x yang dapat diturunkan (differentiable).

Secara geonetri dapat digambarkan sebagai berikut :

y    

    
 

 

 

y₀

 

 

0     x

    

Tanjakan (koefisien arah atau slope) garis sekans yang menghubungkan titik P dan Q ialah:

Bila P (x₀,y₀) diambil sebagai titik yang tetap, sedangkan Q(x₁, y₁) adalah titik yang berjalan sepanjang grafik dan menuju P, maka dalam keadaan limit, yang berarti x0, memberikan koefisien arah garis seakan berubah menjadi koefisien arah garis singgung pada grfaik di titik P (ditulis . Dengan symbol matematis, maka :

Catatan :

(i). Oleh karena P(x₀,y₀) suatu titik yang diambil sembarang pada grafik y =f(x) , mak aindeks nol pada P(x₀,y₀) dapat dihapuskan dna ini berarti berlaku untuk semua titik yang terletak pada grafik tersebut.

(ii)     Dari definisi dan pengertian koefisien arah garis singgung di suatu titik pada grafik y =f(x) tersebut di atas, maka koefisien arah garis singgung di suatu titik apda grafik y=f(x) dapat diperoleh dari harga turunan di titik tersebut.

Teori 1: turunan dari suatu konstanta sama dengan nol (zero)

Teori 2 : Turunan terhadap x sama dengan , dimana n bilangan bulat positif.

    Teori 3 : Bila adalah fungsi dari x yang dapat dituurnkan c konstanta, maka

    Teori 4 : Turunan dari jumlah (yang berhingga banyaknya) fungsi-fungsi yang dapat diturunkan sama dengan jumlah turunan dari masing-masing fungsi tersebut.

 

 

6.1 Turunan Fungsi Rasional    

Teori 5 : Hasil ganda dari dua fungsi U dan V yang dapat diturunkan adalah dapat diturunkan, dan berlaku :

Teori 6 : Bila U dan V adalah fungsi dari x ynag dapat dituurnkan dan V 0, maka :

Teori 7 : Bila U adalah fungsi dari x yang dapat diturunkan, U 0, maka : , dimana n adalah bilangan bulat negative.

Teori 8 : Bila U adalah fungsi yang dapat diturnkan dan n bilangan rasional, maka

6.2 Kecepatan (Velosity) Dan Kelajuan (Rates)    

    Perhatikan kembali arti geometri berikut :

 

 

 

 

 

    
 

 

 

0

dinamakan laju perubahan rata-rata (average rate of change) dari fungsi y dalam interval (; sedangkan harga limit untuk 0, dinamakan laju perubahan (rate of change) dari fungsi y terhadap x, pada suatu titik x (misalkan x = x₀), dengan symbol matematik :

Laju perubahan (rate of change) pada x = x₀ adalah atau sama dengan turunan pertama dari y terhadap x pada suatu titik x = x₀

Pemakaian dalam bidang teknik :

(i). lintasan s dipandang sebagai fungsi dari waktu t, maka s = f(t) kecepatan rata-rata (average velocity) = (harga rata-rata kecepatandalam suatu jangka waktu persatuan waktu)

Kecepatan (velocity) pada suatu waktu

Percepatan (acceleration) a =

(2). Banyak air dalam tangki air (reservoir) pada waktu t ialah Q, dengan Q sebagai fungsi dari t . Bila aiar mengalir masuk/keluar dari tangki air dari t ke t + , maka perubahan dari Q adalah . Maka laju perubahan rata-rata dari

 

6.3 Turunan Fungsi Implisit

Untuk mencari turunan fungsi implicit yang ditulis dalam bentuk f(x,y) = 0, lebih baik disajikan dengan contoh-contoh beserta penyelesaian di bawah ini.

Contoh-contoh.

(i). Hitunglah dari

Maka masing-masing suku persamaan didiferensial terhadap x, memberikan

 

 

 

 

 

(ii). Hitunglah dari

Maka fungsi di atas dapat ditulis dalam bentuk fungsi implicit masing-masing suku didiferensial terhadap x, memberikan =

Soal. Hitunglah dari setiap fungsi implicit y di bawah ini.

1.

2.

3.

4.

6.4 Turunan Fungsi Komposit (Composite)    

Definisi : bila g sebuah fungsi dengan domain dan bila f sebuha fungsi dengan Domain dan Range , maka yang dimaksud fungsi komposit ialah fungsi F yang merupakan komposisi dari g dan f, dan ditentukan dengan hubungan . Domain terdiri dari harga-harga sedemikian sehingga f(x)

Catatan : perhatikan kembali tentang komposit dari fungsi yang disajikan dengan pengertian pemetaan. Maka definisi di atas dapat digambarkan sebagai berikut :

 

 

 

 

Teori : Bila f dan g masing-masing adalah fungsi dari x dan u yang dapat diturunkan, dan bila f adalah fungsi komposit yang ditentukan sebagai berikut :

 

 

F adalah fungsi dari x yang dapat diturunkan dan turunan y terhadap x ialah :

 

6.5 Pemakaian Turunan Pertama Dalam Geometri

Pada grafik y = f(x) seperti gambar di samping. Pandang dua titik yang terletak pada grafik dengan titik p₀ tetap. Bila P berjalan sepanjnag grafik menuju p₀ maka , , shg = =

Untuk atau didapat , ini mengakibatkan jadi merupakan tanjakan garis singgung di titik (

Contoh :

(1) Tentukan persamaan garis singgung pada grafik Tanjakan garis singgung di titik (1,4) adalah

Jadi persamaan garis singgung di titik (1,4) ialah y - 4 = 6 (x-1) y = 6x -2

    (2) Kedua garifk =2

=2

Besar sudut potong antara kedua grafik sama dengn besar sudut anatar kedua garis singgung pada titik potong tersebut yaitu disebut .

Jadi =1,3333 =

Soal :

1). Selidiki apakah grafik berpotongan tegak lurus?

2). Tentukan persamaan garis singgung di titik t=2 pada grafik-grafik di bawah ini :

1. ,
   
2. ,
   
3. ,
   
4. ,
   
5. ,
   

3). Tentukan persamaan garis singgung pada grafik , di titik asal 0 (0,0).

4). Tentukan kooordinat titik-titik pada grafik sedemikian sehingga grafik singgung di titik tersebut sejajar dengan sumbu x.

6.6 Turunan Kedua atau Lebih Tinggi

Yang dimaksud dengan turunan kedua dari y = f(x) terhadap x, ialah turunan terhadap x, atau secara simbol ditulis sebagai berikut :

Turunan-turunan dari y = f(x) terhadap x ialah:

Turunan kedua

Turunan ketiga

Turunan keempat

Bentuk umum : turunan ke n ialah

Turunan kedua fungsi yang ditulis dalam bentuk parameter :

x = f(x)

y = g(x)

=

Maka turunan kedua :

…………………………………………(*)

 

 

………………………(11)

 

Soal :

1. Hitunglah dari : a. y = x³ + 9x + 1
   

   b. y = (x – 1)⁴ (x – 6)
   

2. Hhitunglah dari : a.
   

   b. x = t – t² , y = t – t³ untuk t = 1
   

3. Hitunglah dari : y³ + y = x di titik (2,1)
   

   
    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    

BAB VII

    FUNGSI GONIOMETRI DAN FUNGSI TRANSENDENTAL    

7.1 Turunan Fungsi Goniometri

    Bentuk umum rumus (a) sampai (f) :

    Bila u = f (x) dapat diturunkan, maka

    

 

 

Contoh :

y = sin x terhadap

    y + = sin (

     = sin ( sin = 2 cos (x+

     = 2 cos ( cos ( ……(*)

Oleh karena cos ( cos x cos ( sin sin

Maka ( cos x dan = 1

Jadi dari (*) diperoleh = cos x

Soal :

1. y = sin (3x + 4)

2. y =

3. y = x² sin 3x

4. y =

5. y = (1-2 sin x² 3x )^3/2    

7.2 Turunan FungsiTransendental

Turunan fungsi Transendental ada dua :

1. Turunan fungsi invers dari fungsi goniometri

2. Turunan fungsi Hiperbolis

Turunan Fungsi-fungsi Invers Goneometri

a). y = arc sin x, maka …………………………………….    (a)

b). y = arc cos x, maka ……………………………………..    (b)

c). y = arc tg x, maka ………………………….....................    (c)

d). y = arc sec x, maka ………………………………...    (d)

e). y = arc ctg x, maka ……………………………………..    (e)

f). y = arc cosec x, maka ………………………….............    (f)

Soal :

1. y = arc ctg + arc tg

2. y = arc tg

3. y = arc cos

4. y = arc sin

5. y =

 

2. Fungsi Hiperbolis (hyperbool)

Definisi : sinh x = cosh x =

tanh x =

coth x =

sech x =

cosech x =

Soal :

1. y = x sinh x

2. y = tanh 2x

3. y = sech ³ x

4. y = 4 cosech (

5. y = coth (tg x)

 

 

        

 

 

 

 

 

 

    

DAFTAR PUSTAKA

• Baisuni, H.M. Hasyim., kalkulus, UI-Press., 1986
  
  • Neswan, Oki, Ph.D., Catatan Kuliah MA 1223 Kalkulus Elementer II, Departemen Matematika-ITB. 2010
    
  • Dosen-dosen ITS.,Kalkulus I., ITS-Press., 2007